Question

高一代数

已知函数f(x)是定义在R上函数，若对于任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时，有f(x)>0。
（1)判断函数奇偶性；
（2）判断函数f(x)在R上是增函数，还是减函数，并证明你的结论。

Answer 1

1）
因为f(0+0)=f(0)+f(0)
所以f(0)=0
而f(x+(-x))=f(x)+f(-x)=0
所以为奇函数
2）
考虑x1，x2，均为正数,x1>x2,x1=t+x2
f（x1）=f(x2)+f(t)
f（x1）-f(x2)=f(t)
由于x>0时，有f(x)>0
所以f（x1）-f(x2)>0
在正数上是递增的
由于f(x)是奇函数，所以f（x）递增