Question

如图，⊙O与直线PC相切于点C，直径AB∥PC，PA交⊙O于D，BP交⊙O于E，DE交PC于F．（1）求证：PF2=EF?FD；

如图，⊙O与直线PC相切于点C，直径AB∥PC，PA交⊙O于D，BP交⊙O于E，DE交PC于F．（1）求证：PF2=EF?FD；（2）当tan∠APB=12，tan∠ABE=13，AP=2时，求PF的长；（3）在（2）条件下，连接BD，判断△ADB是什么三角形？并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵AB∥PC，
∴∠BPC=∠ABE=∠ADE．
又∵∠PFE=∠DFP，△PFE∽△DFP，
∴PF：EF=DF：PF，PF²=EF?FD．

（2）连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BP．
∵tan∠APB=

1

2

=

AE

PE

，tan∠ABE=

1

3

=

AE

BE

，
令AE=a，PE=2a，BE=3a，AP=

5

a=

2

，
∴a=

10

5

=AE，PE=

2

5

10

，BE=

3 10

5

．
∵PC为切线，
∴PC²=PE?PB=4．
∴PC=2．
∵FC²=FE?FD=PF²∴PF=FC=

PC

2

=1，
∴PF=1．

（3）△ADB为等腰直角三角形．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°．
∵PE?PB=PA?PD，
∴PD=2

2

BD=