Question

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{Sn}是公差为d的等差数列．（Ⅰ）求数列{an

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{Sn}是公差为d的等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式（用n，d表示）；（Ⅱ）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求c的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意知：d＞0，2a₂=a₁+a₃?3a₂=S₃?3（S₂-S₁）=S₃2a₂=a₁+a₃?3a₂=S₃?3（S₂-S₁）=S₃，3[(

a1

+d)2?a1] ＝(

a1

+2d)2，
化简，得：a1?2

a1

?d+d2＝0，

a1

＝d，a1＝d2

Sn

＝d+(n?1)d＝nd，Sn＝n2d2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²d²-（n-1）²d²=（2n-1）d²，适合n=1情形．
故所求a_n=（2n-1）d²
（Ⅱ）（方法一）S_m+S_n＞cS_k?m²d²+n²d²＞c?k²d²?m²+n²＞c?k²，c＜

m2+n2

k2

恒成立．
又m+n=3k且m≠n，2(m2+n2)＞(m+n)2＝9k2?

m2+n2

k2

＞

9

2

，
故c≤

9

2

，即c的最大值为

9

2

．
（方法二）由

a1

＝d及

Sn

＝

a1

+(n?1)d，得d＞0，S_n=n²d²．
于是，对满足题设的m，n，k，m≠n，有Sm+Sn＝(m2+n2)d2＞

(m+n)2

2

d2＝

9

2

d2k2＝

9

2

Sk．
所以c的最大值cmax≥

9

2

．
另一方面，任取实数a＞

9

2

．设k为偶数，令m＝

3

2

k+1，n＝

3

2

k?1，则m，n，k符合条件，且Sm+Sn＝(m2+n2)d2＝d2[(

3

2

k+1)2+(

3

2

k?1)2]＝

1

2

d2(9k2+4)．
于是，只要9k²+4＜2ak²，即当k＞

2

2a?9

时，Sm+Sn＜

1

2

d2?2ak2＝aSk．
所以满足条件的c≤

9

2

，从而cmax≤

9

2

．因此c的最大值为

9

2

．