Question

如图12已知AB为圆O直径,BD为圆O的切线,过点B的弦BC垂直于OD交圆O于点C垂足为M （1）求证CD是圆o的切线；

（2）当BC=BD,且BD=6cm时，求图中阴影面积（结果保留π）

Answer 1

证明：（1）设线段OD与圆O交于点E
∵OE⊥BC，且OE过圆心
∴BM=CM（垂径定理）
∴弧CE=弧BE（垂径定理的推论）
又∵弧CE=弧BE
∴∠COD=∠BOD（同弧所对的圆心角相等）
又∵CO，BO为圆O的半径
∴CO=BO
在△DCO与△DBO中
CO=BO
∠COD=∠BOD
OD=OD
∴△DCO≌△DBO（SAS）
∴∠OCD=∠OBD
又∵DB与圆O相切于点B且OB为半径
∴∠OBD=90°（切线的性质）
又∵∠OCD=∠OBD
∴∠OCD=90°
即：OC⊥CD
又∵OC⊥CD
OC为半径
∴CD与圆O相切（切线的判定）
（2）∵△DCO≌△DBO（已证）
∴DC=DB
又∵BC=BD
∴DC=DB=BC
∴△DCB为等边三角形
∴∠DCB=∠DBC=60°
又∵∠OCD=90°（已证）
∴∠OCM=∠OCD-∠DCB=90°-60°=30°
∴OM=1/2CO（30°所对的直角边是斜边的一半）
∴2OM=CO
又∵CM=BM（已证）
∴CM=1/2BD=3
在Rt△COM中
OM²+3²=CO²
OM=根号3
∴S阴=S扇COB-S△COB
=120°π*（2根号3）²;/360--6*根号3*1/2
=4π-3根号3（cm²）
答：。。。。。。