Question

(本题满分12分)已知：如图一次函数y＝ x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝ x2＋bx＋c

(本题满分12分)已知：如图一次函数y＝ x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝ x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝ x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0) (1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

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Answer 1

（1）y＝ x2－ x＋1 （2） （3）P的坐标为(1，0)或(3，0)

解：(1)将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入y＝ x2＋bx＋c得 得解析式y＝ x2－ x＋1……………………………………………………3分 (2)设C(x0，y0)，则有 解得 ∴C(4，3)．……………………………………………6分 由图可知：S＝S△ACE－S△ABD．又由对称轴为x＝ 可知E(2，0)． ∴S＝ AE·y0－ AD×OB＝ ×4×3－ ×3×1＝ …………………………………8分 (3)设符合条件的点P存在，令P(a，0)： 当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F． ∵Rt△BOP∽Rt△PFC，∴ ．即 ． 整理得a2－4a＋3＝0．解得a＝1或a＝3 ∴所求的点P的坐标为(1，0)或(3，0) 综上所述：满足条件的点P共有二个………………………………………………………12分