Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=2，OB=4，P为线段AB的中点，反比例函数y

如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=2，OB=4，P为线段AB的中点，反比例函数y= k x 的图象经过P点，Q是该反比例函数图象上异于点P的另一点，经过点Q的直线交x轴于点C，交y轴于点D，且QC=QD．下列结论：①k=2；②S △COD =4；③OP=OQ；④AD ∥ CB．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4

Answer 1

①∵在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=2，OB=4， ∴A点坐标（2，0）B点坐标（0，4）， ∵P为线段AB的中点， ∴P点坐标（1，2）， ∵反比例函数y= k x 的图象经过P点， ∴2= k 1 ，∴K=2，原说法正确，故①符合题意； ②由Q是该反比例函数图象上异于点P的另一点，设Q点（a， 2 a ）， ∵经过点Q的直线交x轴于点C，交y轴于点D，且QC=QD，Q是CD的中点， ∴C（2a，0）D（0， 4 a ） S △COD = 1 2 ×2a× 4 a =4，原说法正确，故②符合题意； ③设Q点为（a， 2 a ）， 由OP=OQ即 (0-1 ) 2 +(0-2 ) 2 = (0-a ) 2 +(0- 2 a ) 2 ， 解得a=±2或a=±1， 即Q（2，1），（-2，-1），（1，2），（-1，-2） ∵反比例函数y= k x 的图象位于第一象限， ∴Q（-2，-1），（-1，-2）不在反比例函数y= k x 的图象上， ∵点Q异于点P（1，2），存在Q点（2，1）在反比例函数y= k x 的图象上， ∴只有当点Q的坐标是（2，1）时，OP=PQ才成立，故③不符合题意； ④∵k ad =- 2 a ；k cb =- 2 a ， k ad = k cb ， ∴AD ∥ CB，原说法正确，故④符合题意． 故应该选：C．