Question

已知等差数列{a n }，公差d＞0，前n项和为S n ，S 3 =6，且满足a 3 -a 1 ，2a 2 ，a 8 成等比数列．（Ⅰ

已知等差数列{a n }，公差d＞0，前n项和为S n ，S 3 =6，且满足a 3 -a 1 ，2a 2 ，a 8 成等比数列．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n = 1 a n ? a n+2 ，求数列{b n }的前n项和T n 的值．

Answer 1

（Ⅰ）由S 3 =6，a 3 -a 1 ，2a 2 ，a 8 成等比数列，得 3 a 1 +3d=6 4( a 1 +d ) 2 =2d( a 1 +7d) ，即 a 1 +d=2 2 a 1 2 +3 a 1 d-5 d 2 =0 ， 解得： a 1 = 10 3 d=- 4 3 或 a 1 =1 d=1 ． ∵d＞0， ∴ a 1 =1 d=1 ． ∴a n =a 1 +（n-1）d=1+1×（n-1）=n； （Ⅱ）b n = 1 a n ? a n+2 = 1 n(n+2) = 1 2 ( 1 n - 1 n+2 ) ． ∴T n =b 1 +b 2 +…+b n = 1 2 (1- 1 3 + 1 2 - 1 4 + 1 3 - 1 5 +…+ 1 n - 1 n+2 ) = 1 2 (1+ 1 2 - 1 n+1 - 1 n+2 )= 3 4 - 1 2(n+1) - 1 2(n+2) ．