Question

如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）过点A作

如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=5，BD=2，求线段AE的长．

Answer 1

（1）证明：连结OD，如图，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∵∠ADC=∠B，
∴∠ODB=∠ADC；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠ADC=90°，
即∠ODC=90°，
∴OD⊥CD，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABD中，AB=5，BD=2，
∴DA=

AB2?BD2

=

21

，
∵AE⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△EAB∽△ADB，
∴

AE

DB

=

AB

DB

，即

AE

21

=

5

2

∴AE=

5 21

2

．