Question

设函数f(x)＝2mcos2x?23msinx?cosx+n(m＞0)的定义域为[0，π2]，值域为[1，4]．（1）求m，n的值；（2）若

设函数f(x)＝2mcos2x?23msinx?cosx+n(m＞0)的定义域为[0，π2]，值域为[1，4]．（1）求m，n的值；（2）若f（x）=2，求x的值．

Answer 1

（1）f(x)＝m(1+cos2x)?

3

msin2x+n
=2mcos(2x+

π

3

)+m+n．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]
cos(2x+

π

3

)∈[?1，

1

2

]，
∵m＞0，2mcos(2x+

π

3

)∈[?2m，m]，
所以f（x）_max=2m+n=4，
f（x）_min=-m+n=1，
m=1，n=2
（2）由（1）可知，m＞0时，
f(x)＝2cos(2x+

π

3

)+3＝2所以cos(2x+

π

3

)＝?

1

2

，结合定义域为[0，

π

2

]，
解得x＝

π

6

或x=

π

2

．