Question

已知函数f（x）=alnx+1x（a＞0）（1）求函数f（x）的单调区间和极值．（2）是否存在实数a，使得函数f（x

已知函数f（x）=alnx+1x（a＞0）（1）求函数f（x）的单调区间和极值．（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

由题意知x＞0，f′（x）=

a

x

-

1

x2

（a＞0）．（1分）
（1）由f′（x）＞0得

a

x

-

1

x2

＞0，解得x＞

1

a

，
所以函数f（x）的单调增区间是（

1

a

，+∞）；
由f′（x）＜0得

a

x

-

1

x2

＜0，解得x＜

1

a

，
所以函数f（x）的单调减区间是（0，

1

a

）．
所以当x=

1

a

时，函数f（x）有极小值为f（

1

a

）=aln

1

a

+a=a-aln a．（6分）
（2）由（1）可知，当x∈（0，

1

a

）时，f（x）单调递减，
当x∈（

1

a

，+∞）时，f（x）单调递增，
①若0＜

1

a

＜1，即a＞1时，函数f（x）在[1，e]上为增函数，
故函数f（x）的最小值为f（1）=aln 1+1=1，显然1≠0，故不满足条件．（9分）
②若1≤

1

a

≤e，即

1

e

≤a≤1时，函数f（x）在[1，

1

a

）上为减函数，在[

1

a

，e]上为增函数，
故函数f（x）的最小值为f（

1

a

）=aln

1

a

+a=a-aln a=a（1-ln a）=0，即ln a=1，解得a=e，
而

1

e

≤a≤1，故不满足条件．（11分）
③若

1

a

＞e，即0＜a＜

1

e

时，函数f（x）在[1，e]上为减函数，
故函数f（x）的最小值为f（e）=aln e+<

北京月之暗面科技有限公司

广告2024-11-26

Kimi赋能综合知识任务，高效完成需求，精准省时!

kimi.moonshot.cn

推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询

广告 您可能关注的内容 【word版】高中数学三角函数所有公式专项练习_即下即用 高中数学三角函数所有公式完整版下载，海量试题试卷，全科目覆盖，随下随用，简单方便，即刻下载，试卷解析，强化学习，尽在百度教育 www.baidu.com广告 2024精选求导公式高中数学_【完整版】.doc 2024新整理的求导公式高中数学，知识点大全汇总很全面，务必收藏，烂熟于心1分不扣，立即下载求导公式高中数学使用吧! www.163doc.com广告 综合知识 - AI智能助手 Kimi赋能综合知识任务，高效完成需求，精准省时! kimi.moonshot.cn广告

其他类似问题

• 2022-06-24 已知函数f(x)=alnx+1/x,当a>0时,求函数f(x)的单调区间和极值
• 2011-07-10 已知函数f（x）=1/2x^2+alnx（a∈R）（1）当a=-1时，求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间 25
• 2012-06-08 已知函数f(x)=alnx+1/x(a>0) (1)求函数f(x)的单调区间和极值 31
• 2011-02-27 已知函数f（x）=x2+2x+alnx。若函数f（x）在区间（0，1）是单调函数，求实数a的取 1
• 2016-11-21 已知函数f（x）=x2+2x+alnx．（1）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）当 2
• 2016-01-19 已知函数f（x）=x2+alnx．（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若g(x)＝f(x)+2x在[1，+∞ 2
• 2017-09-13 已知函数f（x）=x-1-alnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0 3
• 2016-09-20 已知函数f（x）=x2-3x+alnx（a＞0）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）设函数f（x）图 2

为你推荐：