Question

已知函数f（x）=alnx+1x（a＞0）（1）求函数f（x）的单调区间和极值．（2）是否存在实数a，使得函数f（x

已知函数f（x）=alnx+1x（a＞0）（1）求函数f（x）的单调区间和极值．（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

由题意知x＞0，f′（x）=

a

x

-

1

x2

（a＞0）．（1分）
（1）由f′（x）＞0得

a

x

-

1

x2

＞0，解得x＞

1

a

，
所以函数f（x）的单调增区间是（

1

a

，+∞）；
由f′（x）＜0得

a

x

-

1

x2

＜0，解得x＜

1

a

，
所以函数f（x）的单调减区间是（0，

1

a

）．
所以当x=

1

a

时，函数f（x）有极小值为f（

1

a

）=aln

1

a

+a=a-aln a．（6分）
（2）由（1）可知，当x∈（0，

1

a

）时，f（x）单调递减，
当x∈（

1

a

，+∞）时，f（x）单调递增，
①若0＜

1

a

＜1，即a＞1时，函数f（x）在[1，e]上为增函数，
故函数f（x）的最小值为f（1）=aln 1+1=1，显然1≠0，故不满足条件．（9分）
②若1≤

1

a

≤e，即

1

e

≤a≤1时，函数f（x）在[1，

1

a

）上为减函数，在[

1

a

，e]上为增函数，
故函数f（x）的最小值为f（

1

a

）=aln

1

a

+a=a-aln a=a（1-ln a）=0，即ln a=1，解得a=e，
而

1

e

≤a≤1，故不满足条件．（11分）
③若

1

a

＞e，即0＜a＜

1

e

时，函数f（x）在[1，e]上为减函数，
故函数f（x）的最小值为f（e）=aln e+<

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