已知函数f（x）=alnx+1x（a＞0）（1）求函数f（x）的单调区间和极值．（2）是否存在实数a，使得函数f（x
已知函数f（x）=alnx+1x（a＞0）（1）求函数f（x）的单调区间和极值．（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不...
已知函数f（x）=alnx+1x（a＞0）（1）求函数f（x）的单调区间和极值．（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
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由题意知x＞0，f′（x）=
-
（a＞0）．（1分）
（1）由f′（x）＞0得
-
＞0，解得x＞
，
所以函数f（x）的单调增区间是（
，+∞）；
由f′（x）＜0得
-
＜0，解得x＜
，
所以函数f（x）的单调减区间是（0，
）．
所以当x=
时，函数f（x）有极小值为f（
）=aln
+a=a-aln a．（6分）
（2）由（1）可知，当x∈（0，
）时，f（x）单调递减，
当x∈（
，+∞）时，f（x）单调递增，
①若0＜
＜1，即a＞1时，函数f（x）在[1，e]上为增函数，
故函数f（x）的最小值为f（1）=aln 1+1=1，显然1≠0，故不满足条件．（9分）
②若1≤
≤e，即
≤a≤1时，函数f（x）在[1，
）上为减函数，在[
，e]上为增函数，
故函数f（x）的最小值为f（
）=aln
+a=a-aln a=a（1-ln a）=0，即ln a=1，解得a=e，
而
≤a≤1，故不满足条件．（11分）
③若
＞e，即0＜a＜
时，函数f（x）在[1，e]上为减函数，
故函数f（x）的最小值为f（e）=aln e+<
| a |
| x |
| 1 |
| x2 |
（1）由f′（x）＞0得
| a |
| x |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| a |
所以函数f（x）的单调增区间是（
| 1 |
| a |
由f′（x）＜0得
| a |
| x |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| a |
所以函数f（x）的单调减区间是（0，
| 1 |
| a |
所以当x=
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
（2）由（1）可知，当x∈（0，
| 1 |
| a |
当x∈（
| 1 |
| a |
①若0＜
| 1 |
| a |
故函数f（x）的最小值为f（1）=aln 1+1=1，显然1≠0，故不满足条件．（9分）
②若1≤
| 1 |
| a |
| 1 |
| e |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
故函数f（x）的最小值为f（
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
而
| 1 |
| e |
③若
| 1 |
| a |
| 1 |
| e |
故函数f（x）的最小值为f（e）=aln e+
