Question

过抛物线y2=2px（p＞0）的顶点作互相垂直的两弦OA，OB．（1）求AB中点p的轨迹方程；（2）求抛物线顶点O在

过抛物线y2=2px（p＞0）的顶点作互相垂直的两弦OA，OB．（1）求AB中点p的轨迹方程；（2）求抛物线顶点O在AB上射影M的轨迹方程．

Answer 1

设A、B两点坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），AB中点P坐标为（x₀，y₀），则
x₁+x₂=2x₀
y₁+y₂=2y₀

y1

x1

?

y2

x2

=-1，即y₁y₂=-x₁x₂
y₁²=2px₁
y₂²=2px₂
（y₁y₂）²=4p²x₁x₂=-4p²y₁y₂
y₁y₂=-4p²
y₁²+y₂²=2p（x₁+x₂）
（y₁+y₂）²-2y₁y₂=2p（x₁+x₂）
4y₀²+8p²=4px₀
y₀2=px₀-2p²
所以中点轨迹方程为：y²=px-2p²
（2）设M（x，y）
y=kx与抛物线联立的交点坐标为（

4p

k2

，

4p

k

），y=-

x

k

与抛物线联立的交点坐标为（4pk²，-4pk），
从而kOM=

k2?1

k

，故OM方程为：y=

k2?1

k

x    ①?
AB方程为：y+4pk=-

k

k2?1

（x-4pk²）      ②?
①×②得：y₂+4pky=-x?（x-4pk²）即：
x₂+y₂=-4pky+4pk²x=4p?（k²x-ky）         ③?
由①得：k²x-ky=x代入③并化简得：（x-2p）²+y₂=4p²．?
所以点M的轨迹方程为：（x-2p）²+y2=4p²，其轨迹是以（2p，0）为圆心，半径为2p的圆．