Question

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x0，f（x0）），记函数f（x）的导函数为f′（x），f

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x0，f（x0）），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x0）=0．若函数f（x）=x3-3x2，则①f（x）的对称中心是______②：f(12012)+f(22012)+…+f(40222012)+f(40232012)=______．

Answer 1

①由题意f（x）=x³-3x²，
则f′（x）=3x²-6x，
f″（x）=6x-6，
由f″（x₀）=0得6x₀-6=1
解得x₀=1，而f（1）=-2，
故函数f（x）=x³-3x²关于点（1，-2）对称，
②∵函数f（x）=x³-3x²关于点（1，-2）对称，
∴f（x）+f（2-x）=-4，
故f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+…+f(

4022

2012

)+f(

4023

2012

)=-4×2011+（-2）=-8046．
故答案为：①（1，-2），②-8046