Question

如图，在四棱柱ABC-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA1=4，AB=2，点E在棱CC1上

如图，在四棱柱ABC-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA1=4，AB=2，点E在棱CC1上，点E是棱C1C上一点．（1）求证：无论E在任何位置，都有A1E⊥BD（2）试确定点E的位置，使得A1-BD-E为直二面角，并说明理由．（3）试确定点E的位置，使得四面体A1-BDE体积最大．并求出体积的最大值．

Answer 1

证明：（1）∵AA₁⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴AA₁⊥BD
又∵底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD
又∵AA₁∩AC=A，AA₁，AC?平面AA₁C₁C
∴BD⊥平面AA₁C₁C
又∵A₁E?平面AA₁C₁C
∴A₁E⊥BD…（4分）
解：（2）由（1）得BD⊥平面AA₁C₁C，
∴二面角A₁-BD-E的平面角为∠A₁OE．
令CE=x，则易得A1O＝

AA12+AO2

＝

19

，OE＝

OC2+CE2

＝

x2+3

，
A1E＝

A1C12+C1E2

＝

12+(4?x)2

由A1E2＝A1O2+OE2?x＝

3

4

…（8分）
（3）∵VA1?BDE＝VE?<