Question

如图，抛物线y=（x-1）2+n与x轴交于A、B两点，A在B的左侧，与y轴交于C（0，-3）．（1）求抛物线的解析式

如图，抛物线y=（x-1）2+n与x轴交于A、B两点，A在B的左侧，与y轴交于C（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为对称轴右侧的抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，求P点的坐标．

Answer 1

解答：解：（1）∵抛物线y=（x-1）²+n与y轴交于C（0，-3），
∴1+n=-3，
∴n=-4，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）²-4；

（2）抛物线y=（x-1）²-4的对称轴为直线x=1，
令y=0，则（x-1）²-4=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点B的坐标为（3，0），
设对称轴与x轴相交于点E，过点P作PF⊥对称轴于F，
则BE=3-1=2，
∵△BMP是等腰直角三角形，
∴MB=MP，∠BMP=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
在△BEM和△MFP中，

∠1＝∠3 ∠BEM＝∠MFP MB＝MP

，
∴△BEM≌△MFP（AAS），
∴PF=ME，MF=BE，
设PF=a，则点P的坐标为（a+1，-a-2），
∵点P在抛物线y=（x-1）²-4上，
∴（a+1-1）²-4=-a-2，
整理得，a²+a-2=0，
解得a₁=1，a₂=-2（舍去），
∴点P的坐标为（2，-3）．