Question

已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，则点B到平面EFG的距离为（　

已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，则点B到平面EFG的距离为（　　） A． 10 10 B． 2 11 11 C． 3 5 D．1

Answer 1

如图，连接EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O． 因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF ∥ BD，H为AO的中点． 由直线和平面平行的判定定理知BD ∥ 平面EFG， 所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离． ∵BD⊥AC，∴EF⊥HC． ∵GC⊥平面ABCD，∴EF⊥GC， ∵HC∩GC=C，∴EF⊥平面HCG． ∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线． 作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG， 所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离． ∵正方形ABCD的边长为4，GC=2， ∴AC=4 2 ，HO= 2 ，HC=3 2 ． ∴在Rt△HCG中，HG= 18+4 = 22 ． 由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的， 故Rt△HKO ∽ △HCG． ∴OK= HO?GC HG = 2 ×2 22 = 2 11 11 ． 即点B到平面EFG的距离为 2 11 11 ． 故选B．