Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过原点，且f（x-1）=f（x）+x-1．（1）求f（x）的表达式．（2）设F（x）=4f

已知二次函数y=f（x）的图象经过原点，且f（x-1）=f（x）+x-1．（1）求f（x）的表达式．（2）设F（x）=4f（a x ）+3a 2x -1（a＞0且a≠1），当x∈[-1，1]时，F（x）有最大值14，试求a的值．

Answer 1

（1）∵函数f（x）图象经过原点，∴设f（x）=ax 2 +bx（a≠0）， ∵f（x-1）=f（x）+x-1， ∴a（x-1） 2 +b（x-1）=ax 2 +bx+x-1，即ax 2 -（2a-b）x+a-b=ax 2 +（b+1）x-1， ∴ -(2a-b)=b+1 a-b=-1 ，解得a=- 1 2 ，b= 1 2 ． ∴ f(x)=- 1 2 x 2 + 1 2 x ． （2）由F（x）=4f（a x ）+3a 2x -1（a＞0且a≠1），得F（x）=a 2x +2a x -1， ①当a＞1时，令t=a x ， ∵x∈[-1，1]，∴ t∈[ 1 a ，a] ， ∴g（t）=t 2 +2t-1=（t+1） 2 -2， t∈[ 1 a ，a] ， ∵对称轴t=-1，∴g（t）在 [ 1 a ，a] 上是增函数． ∴g（a）=a 2 +2a-1=14，∴a 2 +2a-15=0，解得a=3，a=-5（舍）； ②当0＜a＜1时， 令u=a x ，∵x∈[-1，1]，∴ u∈[a， 1 a ] ， ∴g（u）=u 2 +2u-1=（u+1） 2 -2， u∈[a， 1 a ] ， ∵对称轴u=-1，∴g（u）在 [a， 1 a ] 上是增函数． ∴ g( 1 a )=( 1 a ) 2 + 2 a -1=14 ，∴ 1 a =3， 1 a =-5 （舍），∴ a= 1 3 ， 综上 a= 1 3 或a=3．