Question

在极坐标系中，圆C 1 的方程为ρ=4 2 cos（ θ- π 4 ），以极点为坐标原点，极

在极坐标系中，圆C 1 的方程为ρ=4 2 cos（ θ- π 4 ），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C 2 的参数方程 x=-1+αcosθ y=-1+αsinθ （θ为参数），若圆C 1 与C 2 相切，则实数a=______．

Answer 1

∵圆C 1 的方程为ρ=4 2 cos（ θ- π 4 ）， ∴⊙C 1 的方程化为ρ=4cosθ+4sinθ，则ρ 2 =4ρcosθ+4ρsinθ， 由ρ 2 =x 2 +y 2 ，x=ρcosθ，y=ρsinθ，得x 2 +y 2 -4x-4y=0， ∴圆心C 1 坐标为（2，2），半径r 1 =2 2 ， ∵圆C 2 的参数方程是 x=-1+acosθ y=-1+asinθ ， ∴其普通方程是（x+1） 2 +（y+1） 2 =a 2 ， ∴以C 2 的坐标是（-1，-1），r 2 =|a|， ∵两圆相切， ∴当外切时|C 1 C 2 |=|a|+2 2 = (2+1 ) 2 +(2+1 ) 2 =3 2 ，解得a=± 2 ， 内切时|C 1 C 2 |=|a|-2 2 = (2+1 ) 2 +(2+1 ) 2 =3 2 ，解得a=±5 2 ∴a=± 2 或±5 2 ． 故答案为：± 2 或±5 2 ．