Question

计算曲面积分?2(1?x2)dydz+8xydzdx-4xzdxdy，其中∑是曲线x=ey（0≤y≤a）绕x轴旋转而成的旋转曲面的外侧

计算曲面积分?2(1?x2)dydz+8xydzdx-4xzdxdy，其中∑是曲线x=ey（0≤y≤a）绕x轴旋转而成的旋转曲面的外侧．

Answer 1

解答如图所示：

设有一曲面形构件占xOy面上的一个曲面 ，设构件的密度分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。

对于密度均匀的物件可以直接用ρV求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲面积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds；L是积分路径，∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲面积分。

扩展资料

曲面S向相应的坐标平面投影，求得二重积分的积分区域。

根据曲面的侧（即法向量的方向）确定二重积分的符号。

根据积分表达式，确定投影平面，如要计算P(x，y，z)dydz，必须将S向yz平面投影，求

得二重积分的积分区域Dyz，此时P(x(y，z)，y，z)dydz，其中曲面S：x=x(y，z)，(y，z)∈Dyz，二重积分的符号取决于法向量与x正向的夹角，为锐角时取正号，钝角时取负号，为前正、后负。

Answer 2

依题意，补充曲面∑1：平面x＝ea与旋转曲面相交的部分，则
∑₁在xoy面和zox面的投影都为零，在yoz面的投影为y²+z²≤a²
∴原式=

∫∫

∑+∑1

2(1?x2)dydz+8xydzdx?4xzdxdy?

∫∫

∑1

2(1?x2)dydz+8xydzdx?4xzdxdy
=

∫∫∫

Ω

(

?P

?x

+

?Q

?y

+

?R

?z

)dxdydz?

∫∫

∑1

2(1?x2)dydz
=

∫∫∫

Ω

(?4x+8x?4x)dxdydz?

∫∫

y2+z2≤a2

2(1?ea)dydz
=0+2π（e^a-1）a²
=2π（e^a-1）a²

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示