Question

已知：如图，抛物线y=x2-（m+2）x+3（m-1）与x轴的两个交点M、N在原点的两侧，点N在点M的右边，直线y1=-2

已知：如图，抛物线y=x2-（m+2）x+3（m-1）与x轴的两个交点M、N在原点的两侧，点N在点M的右边，直线y1=-2x+m+6经过点N，交y轴于点F．（1）求这条抛物线和直线的解析式．（2）又直线y2=kx（k＞0）与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y1交于点P，分别过点A、B、P作x轴的垂线，垂足分别是C、D、H．①试用含有k的代数式表示1OC?1OD；②求证：1OC?1OD＝2OH．（3）在（2）的条件下，延长线段BD交直线y1于点E，当直线y2绕点O旋转时，问是否存在满足条件的k值，使△PBE为等腰三角形？若存在，求出直线y2的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意可知：N点的坐标为（

m+6

2

，0）．
已知抛物线过N点，则有：

(m+6)2

4

-

(m+6)(m+2)

2

+3（m-1）+0
即m²-8m=0，解得m=0，m=8．
∵M，N在原点两侧，因此3（m-1）＜0，m＜1；
因此m=8不合题意舍去
∴m=0．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，直线的解析式为y₁=-2x+6．

（2）已知抛物线与直线y₂交于A、B两点，
因此kx=x²-2x+3，
即x²-（2+k）x-3=0
设C、D的坐标为（x₁，0），（x₂，0）．
∴x₁+x₂=2+k，x₁?x₂=-3
∴

1

OC

-

1

OD

=

OD?OC

OC?OD

=

x1+x2

?x1x2

=

2+k

3

．
已知直线y₂与y₁交于P点，
则：-2x+6=kx，x=

6

k+2

∴H点的坐标为（

6

k+2

，0）
因此

2

OH

=

2+k

3

，
∴

1

OC

?

1

OD

＝

2

OH

．

（3）本题要分三种情况：
①PB=BE，则有∠OFD=∠OPF，
∵∠OFD＜45°，
∴∠FOB为钝角，此时y₂的斜率k＜0，
因此不合题意，不存在这种情况．
②PB=PE，则有PF=PO，设P点的坐标为（x，y），
∴y=

1

2

OF=3．
已知直线y₁过P点，
因此P点的坐标为（

3

2

，3）．
∴3=

3

2

k，k=2．
因此直线y₂的解析式为y₂=2x．
③PE=BE，则有PF=OF=6．过P作PG⊥y轴于G，设点P的坐标为（x，y）．
在直角三角形OEF中，OE=3，OF=6，
根据勾股定理可得：EF=3

5

．
∵PG∥x轴
∴

PF

NF

＝

PG

ON

，
即