Question

已知函数f（x）=|x+1|+ax（a∈R）（1）当a=1时，画出此时的函数图象并写出解答过程；（2）若函数f（x）在

已知函数f（x）=|x+1|+ax（a∈R）（1）当a=1时，画出此时的函数图象并写出解答过程；（2）若函数f（x）在R上具有单调性，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）化简函数为y=

2x+1，x≥?1 ?1，x＜?1

，当x＜-1时是y=-1，平行于x轴的射线；当x≥-1时，是y=2x+1的射线，此时x=0、y=1，如图：
（2）原函数式化简得：f（x）=

(a+1)x+1，x≥?1 (a?1)x?1，x＜?1

．
①a＞1时，
当x≥-1时，f（x）=（a+1）x+1是增函数，且f（x）≥f（-1）=-a；
当x＜-1时，f（x）=（a-1）x-1是增函数，且f（x）＜f（-1）=-a．
所以，当a＞1时，函数f（x）在R上是增函数．
同理可知，当a＜-1时，函数f（x）在R上是减函数．（6分）
②a=1或-1时，易知，不合题意．
③-1＜a＜1时，取x=0，得f（0）=1，取x=

2

a?1

，由

2

a?1

＜-1，知f（

2

a?1

）=1，
所以f（0）=f（

2

a?1

）．
所以函数f（x）在R上不具有单调性．（10分）
综上可知，若函数f（x）在 R 上具有单调性，则a的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）．（12分）