Question

如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4，则四边形ABCD面积为（　　）A．163B．8C．323D

如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4，则四边形ABCD面积为（　　）A．163B．8C．323D．83

Answer 1

连结BD，可得四边形ABCD的面积为
S=S_△ABD+S_△CBD=

1

2

AB?ADsinA+

1

2

BC?CDsinC
∵四边形ABCD内接于圆，∴A+C=180°，可得sinA=sinC．
S=

1

2

AB?ADsinA+

1

2

BC?CDsinC
=

1

2

（AB?AD+BC?CD）sinA=

1

2

（2×4+6×4）sinA=16sinA．…（*）
在△ABD中，由余弦定理可得
BD²=AB²+AD²-2AB?ADcosA=2²+4²-2×2×4cosA=20-16cosA，
同理可得：在△CDB中，BD²=CB²+CD²-2CB?CDcosC=6²+4²-2×6×4cosC=52-48cosC，
∴20-16cosA=52-48cosC
结合cosC=cos（180°-A）=-cosA，得64cosA=-32，解得cosA=-

1

2

，
∵A∈（0°，180°），∴A=120°，
代入（*）式，可得四边形ABCD面积S=16sin120°=8

3

故选：D