如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，tanB＝34，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交射线AC于点F
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，tanB＝34，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交射线AC于点F．（1）求AC和BC的长；（2）当EF∥...
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，tanB＝34，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交射线AC于点F．（1）求AC和BC的长；（2）当EF∥BC时，求BE的长；（3）连接EF，当△DEF和△ABC相似时，求BE的长．
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（1）在Rt△ABC中，∠C=90°
∵tanB＝
＝
，∴设AC=3k，BC=4k，
∴AB=5k=5，∴k=1，
∴AC=3，BC=4；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H．
易得△EHB∽△ACB
设EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k；
∵EF∥BC∴∠EFD=∠FDC
∵∠FDE=∠C=90°
∴△EFD∽△FDC
∴
＝
∴FD2=EF?CD，
即9k2+4=2（4-4k）
化简，得9k2+8k-4=0
解得k＝
（负值舍去），
∴BE＝5k＝
；
（3）过点E作EH⊥BC，垂足为H．
易得△EHB∽△ACB
设EH=3k，BE=5k
∵∠HED+∠HDE=90°∠FDC+∠HDE=90°
∴∠HED=∠FDC
∵∠EHD=∠C=90°
∴△EHD∽△DCF
∴
＝
，
当△DEF和△ABC相似时，有两种情况：1°
＝
＝
，
∴
＝
，
即
＝
解得k＝
，
∴BE＝5k＝
（3分）2°
＝
＝
，
∴
＝
，
即
＝
解得k＝
，
∴BE＝5k＝
∵tanB＝
| AC |
| BC |
| 3 |
| 4 |
∴AB=5k=5，∴k=1，
∴AC=3，BC=4；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H．
易得△EHB∽△ACB
设EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k；
∵EF∥BC∴∠EFD=∠FDC
∵∠FDE=∠C=90°
∴△EFD∽△FDC
∴
| EF |
| FD |
| FD |
| CD |
即9k2+4=2（4-4k）
化简，得9k2+8k-4=0
解得k＝
?4±2
| ||
| 9 |
∴BE＝5k＝
10
| ||
| 9 |
（3）过点E作EH⊥BC，垂足为H．
易得△EHB∽△ACB
设EH=3k，BE=5k
∵∠HED+∠HDE=90°∠FDC+∠HDE=90°
∴∠HED=∠FDC
∵∠EHD=∠C=90°
∴△EHD∽△DCF
∴
| EH |
| CD |
| DE |
| DF |
当△DEF和△ABC相似时，有两种情况：1°
| DE |
| DF |
| AC |
| BC |
| 3 |
| 4 |
∴
| EH |
| CD |
| 3 |
| 4 |
即
| 3k |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
∴BE＝5k＝
| 5 |
| 2 |
| DE |
| DF |
| BC |
| AC |
| 4 |
| 3 |
∴
| EH |
| CD |
| 4 |
| 3 |
即
| 3k |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 9 |
∴BE＝5k＝
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