Question

已知函数f（x）=ex-lnx，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）在区间[1e，e]内存在x0，使不等式f（x）＜

已知函数f（x）=ex-lnx，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）在区间[1e，e]内存在x0，使不等式f（x）＜x+m成立，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝(ex?lnx)′＝e?

1

x

当f′（x）＞0，即e?

1

x

＞0?x＞

1

e

时，f（x）为单调递增函数；
当f′（x）＜0，即e?

1

x

＜0， 又x＞0?0＜x＜

1

e

时，f（x）为单调递减函数；
所以，f（x）的单调递增区间是[

1

e

， +∞)，f（x）的单调递减区间是(0， 

1

e

]
（Ⅱ）由不等式f（x）＜x+m，得f（x）-x＜m，令F（x）=f（x）-x，则F（x）=（e-1）x-lnx
由题意可转化为：在区间[

1

e

， e]内，F（x）_min＜m，F′(x)＝[ ，令F′（x）=0，得x＝

1

e?1

x	1 e	( 1 e ，  1 e?1 )	1 e?1	( 1 e?1 ， e)	e
F′（x）		-	0	+
F（x）		递减	极小值	递增

由表可知：F（x）的极小值是F(

1

e?1

)＝(e?1)×

1

e?1

?ln

1

e?1

＝1+ln(e?1)且唯一，
所以F（x）_min=1+ln（e-1）．因此，所求m的取值范围是（ln（e-1），+∞）．