Question

如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABE、等边△ACD、等边△BCF．（1）求证：△ABC

如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABE、等边△ACD、等边△BCF．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）求证：四边形ADFE为平行四边形；（3）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）①当△ABC满足______条件时，四边形ADFE是矩形；②当△ABC满足______条件时，以A、D、F、E为顶点的四边形不存在．

Answer 1

（1）∵△AEB和△BFC都为等边三角形，
∴∠ABE=∠FBC=60°，AB=EB，FB=CB，
∴∠ABE-∠ABF=∠FBC-∠ABF，即∠EBF=∠ABC，
在△BEF和△BAC中，

EB＝AB ∠EBF＝∠ABC FB＝CB

，
∴△BEF≌△BAC（SAS）；
（2）由（1）得△BEF≌△BAC，同理得到△ABC≌△DEC，
∴EF=AC=AD，FD=AB=AE，
∴四边形ADFE为矩形；
（3）①若四边形ADFE为矩形，则有∠EAD=90°，此时∠BAC=360°-（60°+60°+90°）=150°，
则当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADFE是矩形；
②当△ABC满足AB=BC=AC时，∠BAC=60°，此时∠BAE=∠BAC=∠CAD=60°，
∴∠EAD=180°，即AE与AD在同一条直线上，
则当△ABC满足AB=BC=AC时，以A、D、F、E为顶点的四边形不存在．
故答案为：（3）①∠BAC=150°；②AB=BC=AC．