Question

如图，已知等腰△ABC，AB=AC，过A、C两点的圆⊙O切AB于A，BC的延长线交⊙O于D，∠ABD的角平分线交AC于E，

如图，已知等腰△ABC，AB=AC，过A、C两点的圆⊙O切AB于A，BC的延长线交⊙O于D，∠ABD的角平分线交AC于E，交AD于F．（1）求证：AE=AF；（2）若AC=CD=2，求AD．

Answer 1

（1）证明：∵BF平分∠ABD，
∴∠AEF=∠BAC+

1

2

∠ABC，∠AFE=∠ADB+

1

2

∠ABC，
又∵∠BAC=∠ADB，
∴AE=AF；

（2）解：∵AB是⊙O切线，AC=CD=2，
∴AB²=BC?BD
∴4=BC×（BC+2）
∴BC=

5

-1，BC=-

5

-1（舍去），
∵AC=CD=2，
∴∠CAD=∠D，
∵AB是⊙O切线，
∴∠BAC=∠D，
∴AC是∠BAD的平分线，
∴

AB

AD

=

BC

CD

，
∴

2

AD

=

5 ?1

2

∴AD=

5

+1．
答；AD的长为

5

+1．