设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数,且f′(x)≥k>0,f(0)<0,证明f(x)在(0,+∞)内有且仅有

设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数,且f′(x)≥k>0,f(0)<0,证明f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点.... 设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数,且f′(x)≥k>0,f(0)<0,证明f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点. 展开
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茹翊神谕者

2023-06-28 · TA获得超过2.5万个赞
知道大有可为答主
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简单分析一下,答案如图所示

奇巧且平实丶帮手P
推荐于2016-06-16 · TA获得超过174个赞
知道答主
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证明:
根据题意有:f′(x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)严格单调递增,
根据函数的单调性可知,f(x)在(0,+∞)上至多有一个零点,①
又由于:对于任意的t∈(0,+∞),f′(t)≥k>0成立,
不等式两边对t从0到x的积分,由积分保号性有:
x
0
f′(t)dt≥
x
0
kdt,
即:f(x)-f(0)≥kx,
从而:f(x)≥kx+f(0),
于是:f(x)→∞,当x→∞(∵k>0),
则存在某点x0,使得:f(x0)>0,
从而:在区间[0,x0]内,
f(0)<0,f(x0)>0,
由f(x)的连续性,知:在(0,x0)内必有一点使得函数值等于零,
又由①式可得:f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点,证毕.
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