Question

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=2?x?y， 0＜x＜1，0＜y＜1 0， &nb...

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=2?x?y， 0＜x＜1，0＜y＜1 0， 其他．（1）求P（X＞2Y）；（2）求Z=X+Y的概率密度fZ（Z）．

Answer 1

（I）P{X＞2Y}=

?

x＞2y

f(x，y)dxdy=

∫

1 2 0

dy

∫

1 2y

(2?x?y)dx=

7

24

．
（II） 先求Z的分布函数：
F_Z（z）=P（X+Y≤z）=

?

x+y≤z

f(x，y)dxdy，
当z＜0时，F_Z（z）=0；
当0≤z＜1时，F_Z（z）=

∫

z 0

dy

∫

z?y 0

(2?x?y)dx=z2?

1

3

z3；
当1≤z＜2时，

F_Z（z）=1-

?

D1

f(x，y)dxdy=1-

∫

1 z?1

dy

∫

1 z?y

(2?x?y)dx=1-

1

3

（2-z）³；
当z≥2时，F_Z（z）=1．
故Z=X+Y的概率密度为
f_Z（z）=F_Z′（z）=

2z?z2，    0＜z＜1 (2?z)2，   1≤z＜2 0，             其他

．