Question

设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过点P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ

设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过点P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的最值；（Ⅲ）证明：f（x）≤2x-2．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f（x）=x+ax²+blnx过点P（1，0），
∴f（1）=1+a=0，即a=-1．
函数f（x）=x-x²+blnx的导数为f′（x）=x-2x+

b

x

，
∵曲线y=f（x）过点P（1，0）且在点P处的切线斜率为2，
∴k=f′（1）=1-2+b=2，解得b=3，
即a=-1，b=3．
（Ⅱ）解：f（x）=x-x²+3lnx的定义域为（0，+∞），
f′（x）=1-2x+

3

x

=-

(x+1)(2x?3)

x

，
∴函数在（0，1.5）上单调递增，在（1.5，+∞）上单调递减，
∴x=1.5时，函数取得最大值-0.75+3ln1.5，无最小值；
（Ⅲ）证明：f（x）的定义域为（0，+∞）
由（1）知f（x）=x-x²+3lnx
设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx
则g′（x）=-1-2x+

3

x

=-

(x?1)(2x+3)

x

，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
当x＞1时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
而g（1）=0，
故当x＞0时，g（x）≤0即f（x）≤2x-2．