Question

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=2f（x）；②当x∈[2，4]时，f（x）=1-|x-3|，则集合{x|f

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=2f（x）；②当x∈[2，4]时，f（x）=1-|x-3|，则集合{x|f（x）=f（36）}中的最小元素是______．

Answer 1

当2^n-1≤x≤2ⁿ（n∈N^*）时，

x

2n?2

∈[2，4]
∵函数f（x）满足：①f（2x）=2f（x）；②当x∈[2，4]时，f（x）=1-|x-3|，
∴n≥2时，f（x）=2^n-1×f（

x

2n?2

）=2^n-1×[1-|

x

2n?2

-3|]
由函数解析式知，当

x

2n?2

-3=0时，函数取得极大值2^n-1，
∴极大值点坐标为（3×2^n-2，2^n-1）
∴f（x）在[2，4]，[4，8]，[8，16]…上的最大值依次为1，2，4…，即最大值构成一个以2为公比的等比数列，
∵f(36)＝2f(18)＝4f(9)＝8f(

9

2

)＝16f(

9

4

)＝16×

1

4

＝4，
∴f（x）=4时x的最小值是12；
故答案为：12