Question

【紧急】大家帮忙解决数学题啊 关于数列的！！！

已知等比数列{an}的各项都是正数，前n项和为Sn，且a3=4,a4=a2+12，求
①首项a1及公比q的值
②若 bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn

设数列{an}的前项n和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n
①设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通向公式。
②求数列{nan}的前n项和

Answer 1

这道题主要是考察等比数列的基本公式以及求和方法——错位相减

Answer 2

（1）设等比数列{an}公比为q，首项为a1；由于其各项为正，那么有q≥0；
由a3=4,a4=a2+12，得a4=a3*q=4q，a2=a3/q=4/q，所以4q=（4/q）+12
解得q=（3+√13）/2【由于q≥0，舍去（3-√13）/2】
所以a1=a3/(q^2)=8/（11+3√13）
(2) bn=nan=n×a1×q^(n-1)
所以：Tn=a1×[1+2q+3q^2+4q^3+……+n×q^(n-1)]
q×Tn=a1×[q+2q^2+3q^3+4q^4+……+(n-1)×q^(n-1)+n×q^n]
两式相减得：（1-q）×Tn=a1×[1+q+q^2+q^3+q^4+……+q^(n-1)-n×q^n]
=a1×[（1-q^n）/（1-q）-n×q^n]
Tn=a1×[（1-q^n）/（1-q）-n×q^n] /(1-q)
(带入第一问的数据即可)

（1）任意的正整数n都有Sn=2an-3n，（所以a1=s1=2a1-3，a1=3）
则n≥2时，S（n-1）=2a（n-1）-3（n-1）
相减得an=2an-2a（n-1）-3
所以an=2a（n-1）+3 （n≥2）
因而对于bn=an+3时an+3=2[a（n-1）+3],即：bn=2b（n-1）（n≥2）
所以对于任意的n≥1有数列{bn}是等比数列，且公比为2，由a1=3，b1=6
——> bn=6*2^(n-1)=3*2^n
所以an=bn-3=3*2^n-3
(2)求和Pn=nan：
即：Pn=∑k*ak=∑k*(3*2^k-3)=3【∑k*2^k-∑k】 （其中k从1到n）
=3【(n-1)2^(n+1)+2-(n+1)n/2】

其中对于∑k*2^k和第一题的Tn求法相同，乘以公比后 错位相减法 得到等比数列 .