Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P. （1）若BD=AC，AE=CD，在图1

在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P. （1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写 出∠APE的度数；（2）若 ， ，求∠APE的度数.

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Answer 1

解：（1）如图9，∠APE=" " 45  °. ……………………2分  （2）解法一：如图10，将AE平移到DF ，连接BF，EF．……………3分 则四边形AEFD是平行四边形． ∴ AD∥EF，AD=EF ． ∵ ， ， ∴ ， ． ∴ ．……………………………………………………4分 ∵ ∠C=90°， ∴ ． ∴ ∠C=∠BDF． ∴ △ACD∽△BDF．………………5分 ∴ ，∠1=∠2． ∴ ． ∵ ∠1+∠3=90°， ∴ ∠2+∠3=90°． ∴ BF⊥AD ． ∴ BF⊥EF．…………………………………………………………6分 ∴ 在Rt△BEF中， ． ∴ ∠APE=∠BEF =30°．…………………………………………7分[来 解法二：如图11，将CA平移到DF，连接AF，BF，EF．………………3分 则四边形ACDF是平行四边形． ∵ ∠C=90°， ∴ 四边形ACDF是矩形，∠AFD=∠CAF= 90°，∠1+∠2=90°． ∵ 在Rt△AEF中， ， 在Rt△BDF中， ， ∴ ． ∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =90°． ∴ ∠AFD=∠EFB． …………………4分 又∵ ， ∴ △ADF∽△EBF． …………………………………5分 ∴ ∠4=∠ 5．………………………………………6分 ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5，    ∴ ∠APE=∠3=30°．………………………7分

略