Question

一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希望数”．（1

一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希望数”．（1）请你举例说明：“希望数”一定存在．（2）请你证明：如果a，b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数．

Answer 1

（1）∵428571=3×142857， ∴428571是一个“希望数”． （2）∵a为“希望数”，依“希望数”定义知，存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p，使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和． ∵a=3p和a为3的倍数，但a的数字和等于P的数字和， ∴由整除判别法，知p为3的倍数， ∴p=3m，（m为正整数）， ∴a=3×p=3×3m=9m， ∴a被9整除． ∵a的数字和等于p的数字和， ∴由被9整除的判别法可知p能被9整除，即p=9k（k为整数）， ∴p=3a=3×9k=27k ∴a是27的倍数． ∴“希望数”一定能被27整除． ∵a，b都是“希望数”， ∴a，b都是27的倍数，即a=27n 1 ，b=27n 2 （n 1 ，n 2 为正整数）． ∴ab=（27n 1 ）（27n 2 ） =（27×27）（n 1 ×n 2 ） =729n 1 n 2 ． ∴ab一定是729的倍数．