Question

如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）． 　　　　 　　　 　　　 （1

如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）． 　　　　 　　　 　　　 （1）求B点坐标；（2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连OD，求∠AOD的度数；（3）过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式 =1是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由．

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Answer 1

解：（1）作AE⊥OB于E，如图1， ∵A（4，4）， ∴OE=4， ∵△AOB为等腰直角三角形，且AE⊥OB， ∴OE=EB=4， ∴OB=8， ∴B（8，0）； （2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，如图2， ∵△ACD为等腰直角三角形， ∴AC=DC，∠ACD=90°， 即∠ACF+∠DCF=90°， ∵∠FDC+∠DCF=90°， ∴∠ACF=∠FDC， 又∵∠DFC=∠AEC=90°， ∴△DFC≌△CEA， ∴EC=DF，FC=AE， ∵A（4，4）， ∴AE=OE=4， ∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF， ∴OF=CE， ∴OF=DF， ∴∠DOF=45°， ∵△AOB为等腰直角三角形， ∴∠AOB=45°， ∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°； （3） 成立，理由如下： 在AM上截取AN=OF，连EN，如图3， ∵A（4，4）， ∴AE=OE=4， 又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF， ∴△EAN≌△EOF（SAS）， ∴∠OEF=∠AEN，EF=EN， 又∵△EGH为等腰直角三角形， ∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°， ∴∠AEN+∠OEM=45°， 又∵∠AEO=90°， ∴∠NEM=45°=∠FEM， 又∵EM=EM， ∴△NEM≌△FEM（SAS）， ∴MN=MF， ∴AM﹣MF=AM﹣MN=AN， ∴AM﹣MF=OF，即 ；

图1 图2 图3