Question

问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90

问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM=ON，证明如下：连接CO，则CO是AB边上中线，∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）反思交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1： ；依据2： ．（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．拓展延伸：（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

Answer 1

（1）依据1为：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），依据2为：角平分线上的点到角的两边距离相等； （2）见解析； （3）OM=ON，OM⊥ON．理由见解析．

试题分析：（1）根据等腰三角形的性质和角平分线性质得出即可； （2）证△OMA≌△ONB（AAS），即可得出答案； （3）求出矩形DMCN，得出DM=CN，△MOC≌△NOB（SAS），推出OM=ON，∠MOC=∠NOB，得出∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON，求出∠MON=∠BOC=90°，即可得出答案． （1）解：依据1为：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），依据2为：角平分线上的点到角的两边距离相等． （2）证明：∵CA=CB， ∴∠A=∠B， ∵O是AB的中点， ∴OA=OB． ∵DF⊥AC，DE⊥BC， ∴∠AMO=∠BNO=90°， ∵在△OMA和△ONB中  ， ∴△OMA≌△ONB（AAS）， ∴OM=ON．  （3）解：OM=ON，OM⊥ON．理由如下： 如图2，连接OC， ∵∠ACB=∠DNB，∠B=∠B， ∴△BCA∽△BND， ∴ ， ∵AC=BC， ∴DN=NB． ∵∠ACB=90°， ∴∠NCM=90°=∠DNC， ∴MC∥DN， 又∵DF⊥AC， ∴∠DMC=90°， 即∠DMC=∠MCN=∠DNC=90°， ∴四边形DMCN是矩形， ∴DN=MC， ∵∠B=45°，∠DNB=90°， ∴∠3=∠B=45°， ∴DN=NB， ∴MC=NB， ∵∠ACB=90°，O为AB中点，AC=BC， ∴∠1=∠2=45°=∠B，OC=OB（斜边中线等于斜边一半）， 在△MOC和△NOB中  ， ∴△MOC≌△NOB（SAS）， ∴OM=ON，∠MOC=∠NOB， ∴∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON， 即∠MON=∠BOC=90°， ∴OM⊥ON．