Question

已知函数f(x)=x 3 +bx 2 -3x(b∈(-∞，0])，且函数f(x)在区间[1，+∞)上单调递增，(1)求函数f(x)的解析式

已知函数f(x)=x 3 +bx 2 -3x(b∈(-∞，0])，且函数f(x)在区间[1，+∞)上单调递增，(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x 1 、x 2 ，都有[f(x 1 )-f(x 2 )]≤c，求实数c的最小值；(3)若过点M(2，m)(m≠2)，可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：(1)由题意得f′(x)=3x 2 +2bx-3， 因为函数f(x)在区间[1，+∞)上单调递增， 所以 ，对 x∈[1，+∞)恒成立， 所以 对 x∈[1，+∞)恒成立， 令 ，则 ，所以当 x∈[1，+∞)时，ψ′(x)＜0恒成立， 所以函数ψ(x)是[1，+∞)上的单调减函数， 所以当 x∈[1，+∞)时，函数ψ(x)的最大值是ψ(1)=0， 故2b≥0，即b≥0，又因为b∈(-∞，0]，所以b=0， ∴f(x)=x 3 -3x。 (2)由(1)可得，f′(x)=3x 2 -3，由f′(x)=3x 2 -3=0解得x=±1， ∵f(-1)=2，f(1)=-2， ∴当x∈[-2，2]时， ， 则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x 1 ，x 2 ，都有 ， 所以c≥4，所以c的最小值为4。 (3)∵点M(2，m)(m≠2)不在曲线y=f(x)上， ∴设切点为(x 0 ，y 0 )，则 ， ， ∴切线的斜率为 ，则 ， 即 ， 因为过点M(2，m)(m≠2)，可作曲线y=f(x)的三条切线， 所以方程 有三个不同的实数解． 即函数 有三个不同的零点， 则g′(x)=6x 2 -12x，令g′(x)=0，解得x=0或x=2， 由题意可得g(0)＞0，且g(2)＜0， 所以6+m＞0，且m-2＜0，解得：-6＜m＜2， 所以所求实数m的取值范围是-6＜m＜2。