Question

如图，在直角坐标系中，O为原点，B（5，0），M为梯形OBCD底边OB上的一点，OM＜3，OD=BC=2，∠DMC=∠DOM=6

如图，在直角坐标系中，O为原点，B（5，0），M为梯形OBCD底边OB上的一点，OM＜3，OD=BC=2，∠DMC=∠DOM=60°．（1）求点C的坐标；（2）求点M的坐标；（3）∠DMC绕点M顺时针旋转α（α为锐角）后，得到∠D1MC1，射线M D1交直线DC于点E，射线MC1交直线BC于点F，设DE=m，BF=n，求m与n的函数关系式．

Answer 1

（1）过点D作DA⊥OB，垂足为A．CN⊥OB，如图1，
在Rt△ODA中，∠DAO=90°，∠DOB=60°，
∴DA=OD?sin∠DOB=

3

，
OA=OD?cos∠DOB=1，
∴点D的坐标为（1，

3

），
∴AO=1，BN=1，
∴点C的坐标为：（4，

3

）；

（2）∵∠CBM+∠CMB+∠MCB=180°，
∠DMC+∠MDC+∠DCM=180°，
∠DOB=∠CBM=∠DMC=60°，
∴∠CMB+∠MCB=∠MDC+∠DCM，
∵∠OMD+∠DMC+∠BMC=180°，∠CDM=∠DMO，∠CMB=∠DCM，
∴∠MDC=∠DMO=∠MCB，
∴△ODM∽△BMC，
∴

OD

BM

＝

OM

BC

＝

DM

MC

，
∴OD?BC=BM?OM，
∵B点为（5，0），
∴OB=5．
设OM=x，则BM=5-x，
∵OD=BC=2，
∴2×2=x（5-x），
解得x₁=1，x₂=4，
∵OM＜3，
∴OM=4舍去，
∴M点坐标为（1，0）；

（3）（Ⅰ）当M点坐标为（1，0）时，如图2，
OM=1，BM=4．
∵DC∥OB，
∴∠MDE=∠DMO，
又∵∠DMO=∠MCB，
∴∠MDE=∠MCB，
∵∠DME=∠CMF=α，
∴△DME∽△CMF，
∴

DE

CF

＝

DM

CM

＝

OD

BM

＝

2

4

＝

1

2

，
∴CF=2DE，
∵CF=2-n，DE=m，
∴2-n=2m，即m=1-

n

2

；
（Ⅱ）当M点坐标为（4，0）时，如图3，
∵OM＜3，
∴M点坐标为（4，0）时，不合题意，舍去．