Question

（2010?丰台区二模）已知抛物线x2=4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A，B两点，抛物

（2010?丰台区二模）已知抛物线x2=4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M．（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）设直线MF交该抛物线于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知，得F（0，1），显然直线AB的斜率存在且不为0，
则可设直线AB的方程为y=kx+1（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2＝4y y＝kx+1

消去y，得x²-4kx-4=0，显然△=16k²+16＞0．
所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．（2分）
由x²=4y，得y＝

1

4

x2，所以y′＝

1

2

x，
所以，直线AM的斜率为kAM＝

1

2

x1，
所以，直线AM的方程为y?y1＝

1

2

x1(x?x1)，又x₁²=4y₁，
所以，直线AM的方程为x₁x=2（y+y₁）①．（4分）
同理，直线BM的方程为x₂x=2（y+y₂）②．（5分）
②-①并据x₁≠x₂得点M的横坐标x＝

x1+x2

2

，
即A，M，B三点的横坐标成等差数列．（7分）

（Ⅱ）由①②易得y=-1，所以点M的坐标为（2k，-1）（k≠0）．
所以kMF＝

2

?2k

＝?

1

k

，
则直线MF的方程为y＝?

1

k

x+1，（8分）
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
由

x2＝4y y＝? 1 k x+1

消去y，得