Question

如图所示，半径为R的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面指向纸外，磁感应强度B随时间均匀变化，变

如图所示，半径为R的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面指向纸外，磁感应强度B随时间均匀变化，变化率△B△t＝K（K为一正值常量），圆柱形区外空间没有磁场，沿图中AC弦的方向画一直线，并向外延长，弦AC与半径OA的夹角α＝π4．直线上有一任意点，设该点与A点的距离为x，求从A沿直线到该点的电动势的大小．

Answer 1

由于圆柱形区域内存在变化磁场，在圆柱形区域内外空间中将产生涡旋电场，电场线为圆，圆心在圆柱轴线上，圆面与轴线垂直，如图中虚点线所示．在这样的电场中，沿任意半径方向移动电荷时，由于电场力与移动方向垂直，涡旋电场力做功为零，因此沿半径方向任意一段路径上的电动势均为零．
（1）任意点在磁场区域内：令P为任意点（见图1）r≤

2

R，在图中连直线OA与OP．取闭合回路APOA，可得回路电动势E₁=E_AP+E_PO+E_OA，式中E_AP，E_PO，E_OA分别为从A到P、从P到O、从O到A的电动势．由前面的分析可知E_PO=0，E_OA=0，故
E_AP=E₁                                          ①
令△AOP的面积为S₁，此面积上磁通量?₁=BS₁，由电磁感应定律，回路的电动势大小为
E₁=

△?1

△t

=S₁

△B

△t

根据题给的条件有
E₁=S₁k                                          ②
由图复解19-2-2可知
S₁=

1

2

xRsinα＝

xR

2 2

                               ③
由（1）、（2）、（3）式可得沿AP线段的电动势大小为
E_AP=

kR

2 2

x                                       ④

（2）任意点在磁场区域外：令Q为任意点（见图2），x＞

2

R．在图中连OA、OQ．取闭合回路AQOA，设回路中电动势为E₂，根据类似上面的讨论有
E_AQ=E₂                                          ⑤
对于回路AQO，回路中磁通量等于回路所包围的磁场区的面积的磁通量，此面积为S₂，通过它的磁通量?₂=BS₂．根据电磁感应定律可知回路中电动势的大小
E₂=S₂k                                &nbs

Answer 2

由于圆柱形区域内存在变化磁场，在圆柱形区域内外空间中将产生涡旋电场，电场线为圆，圆心在圆柱轴线上，圆面与轴线垂直，如图中虚点线所示．在这样的电场中，沿任意半径方向移动电荷时，由于电场力与移动方向垂直，涡旋电场力做功为零，因此沿半径方向任意一段路径上的电动势均为零．
（1）任意点在磁场区域内：令P为任意点（见图1）r≤

2

R，在图中连直线OA与OP．取闭合回路APOA，可得回路电动势E₁=E_AP+E_PO+E_OA，式中E_AP，E_PO，E_OA分别为从A到P、从P到O、从O到A的电动势．由前面的分析可知E_PO=0，E_OA=0，故
E_AP=E₁                                          ①
令△AOP的面积为S₁，此面积上磁通量?₁=BS₁，由电磁感应定律，回路的电动势大小为
E₁=

△?1

△t

=S₁

△B

△t

根据题给的条件有
E₁=S₁k                                          ②
由图复解19-2-2可知
S₁=

1

2

xRsinα＝

xR

2 2

                               ③
由（1）、（2）、（3）式可得沿AP线段的电动势大小为
E_AP=

kR

2 2

x                                       ④

（2）任意点在磁场区域外：令Q为任意点（见图2），x＞

2

R．在图中连OA、OQ．取闭合回路AQOA，设回路中电动势为E₂，根据类似上面的讨论有
E_AQ=E₂                                          ⑤
对于回路AQO，回路中磁通量等于回路所包围的磁场区的面积的磁通量，此面积为S₂，通过它的磁通量?₂=BS₂．根据电磁感应定律可知回路中电动势的大小
E₂=S₂k                                &nbs