Question

设数列{an}是公比为q的等比数列，它的前n项和为Sn，若limn→∞Sn=2，则此等比数列的首项a1的取值范围是__

设数列{an}是公比为q的等比数列，它的前n项和为Sn，若limn→∞Sn=2，则此等比数列的首项a1的取值范围是______．

Answer 1

依题意知|q|＜1且q≠0，
∴S_n=

a1(1?qn)

1?q

，
∴

lim

n→∞

S_n=

a1

1?q

，
∵

lim

n→∞

S_n=2，
∴

a1

1?q

=2，
∴q=1-

a1

2

∈（-1，1），q≠0，
即-1＜

a1

2

-1＜1且

a1

2

-1≠0，
解得0＜a₁＜2或2＜a₁＜4．
故答案为：（0，2）∪（2，4）．