Question

如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD=6，O为AC，BD的交点．将四边形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱

如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD=6，O为AC，BD的交点．将四边形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，M为BC的中点，且BD=32（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD（Ⅱ）求证：平面ABC丄平面MDO．

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为AB=BC=CD=DA，所以四边形ABCD是菱形，…（2分）
因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点．
又点M是BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，所以OM∥AB．…（5分）
因为OM不包含于平面ABD，AB?平面ABD，
所以OM∥平面ABD．…（6分）
（Ⅱ）由题意知，OB=OD=3，
因为BD=3

2

，所以∠BOD=90°，OD⊥OB．…（8分）
又因为菱形ABCD中，OD⊥AC，
而OB∩AC=O，所以OD⊥平面ABC，…（10分）
因为OD?平面MDO，所以平面ABC⊥平面MDO．…（12分）