Question

过双曲线x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作与x轴垂直的直线，分别与双曲线及其渐近线交于点M，N（均

过双曲线x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作与x轴垂直的直线，分别与双曲线及其渐近线交于点M，N（均在第一象限内），若|FM|=4|MN|，则双曲线的离心率为（　　）A．53B．35C．54D．45

Answer 1

双曲线

x2

a2

?

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=

b

a

x，
当x=c时，y=

bc

a

，即|NF|=

bc

a

，
又|FM|=

b2

a

，
若|FM|=4|MN|，则

b2

a

=4（

bc

a

-

b2

a

）
即5b=4c，
∴双曲线的离心率为

c

a

＝

c

c2?b2

=

c

c2?( 4c 5 )2

=

5

3

．
故选A．

Answer 2

双曲线x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=bax，当x=c时，y=bca，即|NF|=bca，又|FM|=b2a，若|FM|=4|MN|，则b2a=4（bca-b2a）即5b=4c，∴双曲线的离心率为ca＝cc2?b2=cc2?(4c5)2=53．故选A．