Question

对于正整数a及整数b、c，二次方程ax2+bx+c=0有两根α，β．且满足0＜α＜β＜1．求a的最小值

对于正整数a及整数b、c，二次方程ax2+bx+c=0有两根α，β．且满足0＜α＜β＜1．求a的最小值．

Answer 1

设f（x）=ax²+bx+c，（a＞0），
∵一元二次方程ax²+bx+c=0在（0，1）中有两个不同的实数根，
∴函数设f（x）=ax²+bx+c在（0，1）中有两个不同的零点，
∴

△＝b2?4ac＞0 f(0)＝c＞0 f(1)＝a+b+c＞0 0＜? b 2a ＜1

，得

b2?4ac＞0 c＞0 a＞?b?c ?2a＜b＜0

，则

a＜ b2 4c a＞?b?c a＞? b 2

①，
∵a、c是正整数，b是负整数，
∴取值使

b2

4c

是正整数：
当b=-2，c=1时，由①得a∈?，此时a无最小整数值；
当b=-4，c=1时，由①得3＜a＜4，此时a无最小整数值；
当b=-6，c=1时，由①得5＜a＜9，此时a有最小整数值为6；
综上可得a有最小整数值为6．