Question

高中不等式的证明

X+Y+Z=1 求证X^3＋Y^3＋Z^3的最值

Answer 1

这个得看x、y、z的取值范围，
一、如果是(-∞, +∞)，那么x^3+y^3+z^3的最小值是-∞，最大值是+∞
二、如果是[0, +∞)，那么x^3+y^3+z^3的最小值是1/9，最大值是1

估计你问的是第二种情况，下面证明之
1) 最小值。证明如下不等式：(x^3+y^3+z^3)/3 >= [(x+y+z)/3]^3
1.1) 展开后转换为证明8(x^3+y^3+z^3) >= 3(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2)+6xyz
1.2) 因为(x-y)^2 >= 0，所以x^2-xy+y^2 >= xy，两边同时乘以x+y，得x^3+y^3 >= x^2y+xy^2。同理y^3+z^3 >= y^2z+yz^2，z^3+x^3 >= z^2x+zx^2，三式相加有2(x^3+y^3+z^3 >= x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2
1.3) x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) = (x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]/2 >= 0
1.4) 1.2)的结论×3＋1.3)的结论×2即证。于是x^3+y^3+z^3 >= (x+y+z)^3/9 = 1/9，在x=y=z=1/3时可以取等号

2) 最大值。因为x、y、z都是非负数，所以x^3+y^3+z^3 <= (x+y+z)^3 = 1，在其中一个是1，另两个是0的时可以取等号

Answer 2

取AB中点F，
则FD=FB,FD垂直DE
角FBD=角FDB，角A＝角ADF
角FBE=角FDE=90度
1 故角EBD=角EDB 故BE=DE
2 故角ADF+角DEC=90度,又角A+角C＝90度 故角EDC=角C 故ED=EC
故得证

Answer 3

如下：