Question

一道高等数学题，对坐标的曲线积分

计算曲面积分∯∑x²dydz+y²z²+z²dxdy，其中∑是锥面x²+y²=z²与平面z=h所围空间区域（0≤z≤h）的表面，方向取外侧。

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Answer 1

用高斯公式
∯<∑> x^2dydz + y^2z^2dzdx + z^2dxdy
= 2 ∫∫∫<Ω> (x+yz^2+z)dxdydz
= 2 ∫<0,h>dz ∫<0,2π>dt ∫<0,z> (rcost+z^2*rsint+z)rdr
= 2 ∫<0,h>dz ∫<0,2π>dt [(1/3)r^3cost+(1/3)z^2*r^3sint+zr^2/2]<0,z>
= 2 ∫<0,h>dz ∫<0,2π> [(1/3)z^3cost+(1/3)z^5*sint+z^3/2]dt
= 2 ∫<0,h>dz [(1/3)z^3sint-(1/3)z^5*cost+tz^3/2]<0,2π>
= 2π ∫<0,h>z^3dz = 2π[h^4/4]<0,h> = πh^4/2