一、概念
对任意项级数
,若
如果
二、含义
如果绝对收敛那么Un一定是递减的，
且
绝对收敛和条件收敛的级数本身都是收敛的。
三、判断
第一步，对于任意数项级数，我们先判断其是否满足收敛的必要条件
既lim(n->∞）Un = 0
并判断级数是正级数。
第二步，如果级数确定为正级数
1.比较原则；
2.比式判别法，（适用于含 n！ 的级数）；
3.根式判别法，（适用于含 n次方 的级数）；
（注：一般能用比式判别法的级数都能用根式判别法）
（这一段来自百度经验，他对级数收敛的判断很详细）
到这一步基本就能判定大多数常用级数了
一般正向级数收敛，那么他基本是绝对收敛的。
第三部、如果不是正级数，判断是否为交错级数
若不是正项级数，则接下来我们可以判断该级数是否为交错级数：
最后、
如果既不是交错级数，又非正级数，可以为级数加上绝对值
通过正级数的方法判断是否绝对收敛。
到这里就基本可以判断一个级数是否收敛或者绝对收敛了。
如果遇见无法判断的级数，去参考专业文档。
四、条件收敛举例
（-1）^n (1/n)
-1 , 1/2 ,-1/3.......
这个级数就是条件收敛的，他的绝对值求和是发散的
只能判断该级数收敛，却没办法确定他是收敛点。
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2024-10-28 广告
首先理解收敛：
令∑un = S，如果lim（n->∞）S存在一个确定的值，则级数收敛
现在我们来考量绝对收敛：
由绝对值的性质来考量，|un| >= un恒成立，且∑|un| >= ∑un,根据比较审敛法的观点来看，若∑|un|收敛，则原级数一定收敛。又由于正项级数通常都比较好判断收敛性，所以在考察级数收敛与否时通常都是先考察是否绝对收敛的。
关于条件收敛：
既然有了绝对收敛，为何又有条件收敛呢？莱布利兹判断准则告诉我们，对于交错级数，只要满足lim（n->∞）un趋于0，且后一项小于前一项就可以证明级数收敛了。我们知道∑1/n是发散的，但∑（-1）^n.1/n却是收敛的，所以条件收敛相当于弥补了一些绝对收敛没有涉及的地方，绝对收敛相当于只把级数看成正项级数来考量了，相当于缩小了相应的范围，条件收敛正好弥补了绝对收敛没有考察到的地方，将范围扩大了一些。
2、条件收敛：是指各项加绝对值后的级数发散，原级数收敛的级数。
3、绝对收敛的级数，原级数一定收敛。
4、绝对收敛的级数、条件收敛的级数，原级数一定收敛。
5、绝对收敛的级数，一定不会条件收敛。但原级数一定收敛。
6、条件收敛的级数，一定不会绝对收敛。但原级数一定收敛。
7、绝对收敛的级数、条件收敛的级数，是两种不同的收敛级数。
绝对收敛则是加上绝对值收敛，不加绝对值之前情况不考虑。
关键就是看加不加绝对值了，举个简单的例子，∑（-1）^n-1*（1/n）。这个就是条件收敛，加上绝对值就是去除正负号的作用。绝对收敛例子太多了。
如果级数Σun收敛，而Σ∣un∣发散，则称级数Σun条件收敛。
把一个级数的毎一项取绝对值后变成了一个正项级数 这个正项级数可能收敛 可能发散 当收敛时就称原来那个级数绝对收敛
这是一个新概念 和原来的收敛有什么关系呢？有定理可证:绝对收敛必自身收敛。即
如果 级数Σun 与 Σ∣un∣ 都收敛。则称级数Σun 绝对收敛。
例如，我们知道：
当un=1/n时发散的，但un=(-1)^n/n确是收敛的。
有一个引理：
如果级数Σ∣un∣收敛，则Σun收敛必定收敛
如果级数Σun发散，则也Σ∣un∣发散
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