Question

设函数f（x）=x（x-a）（x-b）（a，b∈R）．？

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用求导法则求出f（x）的导函数，令f'（x）=0考虑到判别式大于零得到两个极值点，设x 1＜x 2，讨论函数的增减性得到x 1是极大值点，x 2是极小值点，从而利于韦达定理可证；
（Ⅱ） 利用导数法，求函数f（x）在[0，|a|+1]的最大值，从而可得不等式，进而可求a的取值范围．
（Ⅰ）当b=2时，f（x）=x（x-a）（x-2）=x3-（a+2）x2+2ax．f′（x）=3x2-2（a+2）x+2a．…（1分）
∵△=4（a+2）2-24a=4（a2-2a+4）=4（a-1）2+12＞0，
∴方程f'（x）=0有两个不等的实数根x1，x2．…（3分）
不妨设x1＜x2，则f′（x）=3（x-x1）（x-x2）．
当x＜x1时，f′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f'（x）＜0；当x＞x2时，f'（x）＞0．
∴x1是f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点．…（4分）
并且，x12+x22＝(x1+x2)2−2x1x2＝
4
9(a+2)2−
4
3a＝
4
9(a2+a+4)＝
4
9(a+
1
2)2+
5
3≥
5
3．
因此，函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，并且x12+x22≥
5
3（当且仅当a＝−
1
2时取等号）…（7分）
（Ⅱ）当a=b（a≠0）时，f（x）=x（x-a）2=x3-2ax2+ax．f′(x)＝3x2−4ax+a＝3(x−
1
3a)(x−a)…（8分）
1若a＞02，则f（x）3在[0，
1
3a]4上增函数，在[
1
3a， a]5上为减函数，在[a，a+1]6上为增函数．f（x）在[0，a+1]上的最大值为f(
1
3a)与f（a+1）中的较大者．
而f(
1
3a)＝
4
27a3，f（a+1）=a+1．
由f（x）＜2a2在[0，a+1]上恒成立，得

a＞0

4
27a3＜2a2
a+1＜2a.…（9分）
即1＜a＜
27
2．…（11分）
②若a＜0，则f（x）在[0，1-a]上为增函数．f（x）在[0，1-a]上的最大值为f（1-a）=（1-a）（1-2a）2．
∵a＜0，∴1-a＞1，（1-2a）2＞（-2a）2=4a2＞2a2．
∴f（1-a）＞2a2．
因此，a＜0不可能．…（13分）
综上所述，a的取值范围是(1，
27
2)．…（14分）
,9,设函数f（x）=x（x-a）（x-b）（a，b∈R）．
（Ⅰ）若b=2，证明函数f（x）有两个不同的极值点x 1，x 2，并且 x 1 2 + x 2 2 ≥ 5 3 ；
（Ⅱ）若a=b（a≠0），且当x∈[0，|a|+1]时，f（x）＜2a 2恒成立，求a的取值范围．