Question

用导数证明这个不等式，谢谢～

Answer 1

Answer 2

令f(x)=ln(1+x)+x^2/2-x (x>0)
f'(x)=1/(1+x)+x-1=x^2/(1+x)>0
所以f(x)在x>0上是严格单调递增的
所以f(x)>f(0)=0
所以x-x^2/2<ln(1+x)

Answer 3

令f(x)=ln(1+x)+x^2/2-x (x>0)，f'(x)=1/(1+x)+x-1=x^2/(1+x)>0，所以f(x)在x>0上是严格单调递增的，所以f(x)>f(0)=0，所以x-x^2/2<ln(1+x)。

导数：（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
证明方法：（1）利用导数的定义：
[cos(x)]'=lim{[cos(x+h)-cos(x)]/h}
注意：极限过程是h→0
（2）利用三角公式中的和差化积公式：
[cos(x)]'=lim{[cos(x+h)-cos(x)]/h}
=lim{(1/h)*[-2sin(x+h/2)*sin(h/2)]}
=lim{-sin(x+h/2)*[sin(h/2)/(h/2)]}
（3）在高数极限一章我们已经熟知的重要极限:
lim[sin(x)/x]=1(极限过程是x→0)