Question

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，D是BC的中点，P是CC1的中点．求证：？

Answer 1

解题思路：（1）连接A 1C交AC 1于点O，连接OD，根据OD是△A 1CB的中位线可得OD∥A 1B，又A 1B⊄平面AC 1D，OD⊂平面AC 1D，从而证得
A 1B∥平面AC 1D．
（2）由（1）知，∴△CC 1D≌△C 1B 1P，故∠CDC 1=∠C 1PB 1，B 1P⊥C 1D．再由AD⊥平面BCC 1B 1，可得AD⊥B 1P，从而证得
B 1P⊥平面AC 1D．
证明：（1）连接A1C交AC1于点O，连接OD，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，∴侧面AA1C1C是正方形，
∴点O是AC1的中点，又点D是BC的中点，故OD是△A1CB的中位线．
∴OD∥A1B，又A1B⊄平面AC1D，OD⊂平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D． …（7分）
（2）由（1）知，侧面BCC1B1是正方形，又D、P分别为BC、CC1的中点，∴△CC1D≌△C1B1P，
∴∠CDC1=∠C1PB1，∴B1P⊥C1D，…（9分）
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，∴AD⊥BC，又侧面BCC1B1⊥底面ABC，且侧面BCC1B1∩底面ABC=BC，
AD⊂底面ABC，∴AD⊥平面BCC1B1，…（12分）
又B1P⊂平面BCC1B1，∴AD⊥B1P，又AD∩C1D=D，∴B1P⊥平面AC1D．…（14分）
,7,如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AA 1，D是BC的中点，P是CC 1的中点．求证：

（1）A 1B∥平面AC 1D；
（2）B 1P⊥平面AC 1D．